En bayesiansk analys av pandemin

På senare tid har intresset för bayesiansk analys ökat starkt. Läkare, ingenjörer och finansmän använder bayesianska metoder som stöd i beslutsfattande. Psykologer och hjärnforskare utforskar hjärnans bayesianska funktionssätt. Det används inom maskininlärning och AI. Ditt spamfilter arbetar enligt bayesianska principer. Statistiker använder i allt högre grad bayesiansk analys.

Du startar med en hypotes och en viss grad av tro på den hypotesen. Denna tro är baserad på dina förkunskaper. Därefter samlar du in data och uppdaterar din ursprungliga tro. Om data stöder hypotesen ökar sannolikheten, om de inte stöder hypotesen, minskar sannolikheten.

Det finns ingen naiv prognosmetodik

Det är ungefär så din hjärna fungerar. Du tror något baserat på din modell av världen. Din tro leder till en kvalificerad gissning. Din gissning möter världen och det ger dig återkoppling. Därefter uppdaterar du din modell av världen.

En viktig del av bayesianism är att den är uttalat subjektiv. Du måste redovisa dina antaganden. Du tror någonting. All statistik, även frekvensstatistik, görs av människor med värderingar. Det finns ingen naiv prognosmetodik, som min gamla professor Martin Edman sa. 

Varken matematiska modeller eller mänskligt tänkande kan fungera utan antaganden. Du kan låtsas som att du är objektiv, men du har i grunden en tro.

Hur hantera man osäkerhet om pandemier med hjälp av bayesiansk analys? 

Säg att händelsen A är en pandemi med miljontals döda. Hur borde sannolikheten för A uppskattas, med tanke på de data som fanns i december 2019? Jo, under de senaste 100 åren har det varit tre pandemier: spanska sjukan 1918, Asiaten 1957 och Hongkong-influensan 1968. Tre pandemier under de senaste 100 åren ger en sannolikhet på 3 procent, P(A) = 3%. Det blir vår basprognos.

Sannolikheten att ett nytt virus dyker upp är händelse B. Då måste prognosen för A uppdateras. Risken för en nytt virus B om hypotes A är sann skrivs som P (B | A). Sannolikheten för ett nytt virus 2020 om det finns ett virus är 100%. Du kommer inte att se ett nytt virus såvida inte ett nytt virus har dykt upp. Så P (B | A) = 100%.

Vad är risken för att ett nytt virus B, om vår hypotes A är falsk? Kan ett nytt virus dyka upp om vi i början av 2020 inte ser en pandemi? Vad är den sannolikheten?

Bayes sats.

Alla nya virus blir inte pandemier, som fågel- och svininfluensa. Eftersom vi vet att det nya viruset dessutom är ett coronavirus kan vi uppdatera våra sannolikheter. De senaste tjugo åren har det varit två utbrott av coronavirus: SARS-CoV 2003-2004 och MERS-CoV 2012-2015, men de skapade ingen pandemi. Utbrott av coronavirus inträffar alltså när hypotesen A är falsk. Vi antar att sannolikheten för det är 33%, dvs P (B | ~ A) = 33%. (källa)

Vi använder nu Bayes sats för att uppdatera vår prognos för hypotes A. Det formella uttrycket för teoremet är:

Ny prognos för A = P (B | A) * P (A) / [(P (B | A) * P (A)) + (P (B | ~ A) * P (~ A))] 

Efter att ha stoppat in värdena uppdateras prognos för en global pandemi som börjar 2020 från 3% till 8,5%. När sannolikheten för basprognosen är låg ökar sannolikheten rejält med nytt data. Risken för en pandemi 2020 nästan tredubblades från vad den var i början av året.

Poängen med bayesianskt tänkesätt är att du kontinuerligt uppdaterar din tidigare tro när du får ny information. Dessa uppdateringar görs på den nya prognosen som visar P(A)=8,5%, inte den gamla på 3%. Så sannolikheter kan snabbt öka i takt med ny information. 

Det gäller också i vardagen. I början av året trodde många att Covid-19 var en sorts influensa. Ingenting att oroa sig för. Nu har de flesta uppdaterat den föreställningen. SARS-CoV-2 är något nytt och okänt.

I takt med att Cov-19 sprider sig är det viktigt att sätta siffror och sannolikheter: hur smittsam är Cov-19, hur reagerar Cov-19 på särskilda åtgärder, hur många kommer att smittas och hur många sjukhussängar behövs? Det handlar om att ligga steget före och bayesiansk analys ger prognoser i en osäker värld. Varje prognos omges med ett mått av osäkerhet med scenarier som sträcker sig från pessimistiska till optimistiska. Pandemier är komplexa och kräver fler perspektiv än ett enda expertperspektiv.

Det fanns kunskap om SARS-CoV och MERS-CoV. De som insjuknade av SARS-CoV 2003 hade tydliga symtom som feber, hosta och muskelvärk. Dödligheten var 10%. I början spreds det snabbt (R0=3), sedan sattes hårda åtgärder in och R0 sjönk till 0,7 och viruset försvann. MERS-CoV, som fortfarande finns kvar och har en dödlighet på 35%, kan ge symtom som feber och hosta, men tycks också vara asymtomatisk. 

Eftersom MERS-CoV utgör 50% av de farliga coronavirus de senaste 20 åren leder det till att sannolikheten för en pandemi uppdateras. Om det finns en sannolikhet att CoV-19 sprids utan symtom bör man genast dra ner på antal möten mellan människor.

Min åsikt är att man snabbt sätter in åtgärder när man står inför något okänt. Man tar det säkra före det osäkra. Det är en försiktighetsprincip. Jag tror de flesta tillämpar den principen i vardagen. Om något nytt och skrämmande närmar sig dörren stänger man den, sedan öppnar man försiktigt. Inte tvärtom. Det är viktigt med transparens. Hemliga beslut skapar misstro. Vilka antaganden görs? Bayes gör dem tydliga.

Ett räkneexempel:

Jag har skrivit utförligt om bayesiansk analys i ett tidigare inlägg, men exemplet nedan visar att man inte alltid kan lita på sunt förnuft.

När man gjorde HIV-test fick man dessa siffror i USA:
sannolikheten att ett test visar att en person med HIV är infekterad: p(Hiv+|Hiv)= 0,977
sannolikheten att ett test visar att en frisk person inte är infekterad: p(Hiv-|ej Hiv) = 0,926
sannolikheten för att en person i USA har HIV: p(Hiv) = 0,0026

Vad är sannolikheten att en person är sjuk när ett test visar att personen är infekterad med HIV?

Bayes sats = (0,997x0,926)/(0,997x0,926) + (1-0.926)x(1-0,0026) = 0,033.

Sannolikheten att man har HIV om testet visar det är alltså drygt 3 procent.

Smittans tid av Paolo Giordano

För några år sedan läste jag Paolo Giordanos bok Primtalens ensamhet. Den fångade mig från första sidan till sista. Nu har han skrivit Smittans tid - en bok om hur vi fångats av viruset SARS-CoV-2. Han sitter i karantän i Italien och skriver som en sentida Boccaccio*. Jag laddade hem boken på engelska för 9 kr (!). Den svenska översättningen kostar 69 kr. Det är väl investerade pengar. Knappt 70 lättlästa sidor.

Det är en bok för tvärsäkra experter, beslutsfattare och allmänhet. En bok för alla som lever i smittans tid.

Matematik är inte en vetenskap om siffror, utan vetenskapen om händelser och relationer, skriver Giordano. Matematik beskriver kopplingar mellan olika enheter - oavsett vad dessa enheter är gjorda av - och gör dem till bokstäver, punkter, siffror och grafer.

Epidemier är matematiska. Det är röda prickar av olika storlek som täcker ett smittat jordklot. De röda prickarna växer med en matematiskt uttryck: R0.

I början av en epidemi vill man tro att det inte är så farligt. Det går över. Så trodde man först i Italien. Snart är allt som vanligt. Idag är 10 döda, i morgon 20, sedan 30. Om 10 dagar är 100 döda. Det klarar vi av. Men naturen är till sin natur icke-linjär. Med ett R0 <= 1 kommer varje person att smitta högst en person. Då är smittan hanterad. Om R0 > 1 är ökningen exponentiell. Med ett R0 = 2 dubbleras antalet vid varje överföring. En smittbärare fungerar som ett klot som sätter två klot i rörelse som i sin tur sätter fart på fyra klot. Om R0=3 - och Cov-19 tros ligga mellan 2 och 3 - är 59000 klot i rörelse efter 10 stötar och hela jordklotet efter 21 stötar.

Varför inte bara låta smittan ha sin gång?

Giordano anger två skäl: Det första är rent numeriskt. Sjukvården klarar inte hur mycket som helst. I Italien finns lika många läkare per 1000 invånare som i Sverige, men de har 50 procent fler sjuksängar per 1000 invånare.

Det andra skälet är humanitärt. Det handlar om de svagaste grupperna i samhället. Det är vårt ansvar att skydda dem. Om de friska utsätter sig för viruset kommer viruset närmare riskgrupperna.

Vi lever efter våra kalendrar. Saker ska börja och sluta vid bestämda tider. Vi kräver ett slutdatum, ett besked. Vi flyttar vårens aktiviteter till sommaren, sedan till hösten. Men naturen bryr sig inte om kalendrar. Virus slutar när det inte längre finns någon att infektera och när det sker vet vi inte.

Det handlar inte om dig

I början av mars gick Melodifestivalen av stapeln. 30000 personer satt i publiken. Samtidigt hölls en 60-årsfest i Stockholm. Av 100 deltagare insjuknade 70, enligt DN. Försiktighetsprincipen gav vika för en okänd princip. Lite senare förbjöds folksamlingar på mer än 500 personer, sedan 50. 

Den 47-åriga partnern till 60-åringen var nära att dö. Det är svårt för privatpersoner att fatta den här typen av beslut. Det krävs tydliga direktiv. 

Giordano är tydlig med att det bästa valet är det som tar hänsyn till dig och - samtidigt - alla runt dig. Ditt beslut påverkar alla andra. Vi lever i kaos och en fjäril som fladdrar på en annan kontinent påverkar vädret här. Men det finns ordning i kaos. Det går att räkna på; det finns ekvationer för att se hur ett kaotiskt system utvecklas i framtiden.

Det här var inte den första smittan och inte den sista, skriver Giordano. För att förstå virus måste vi förstå hur de ”ser på oss”. SARS-CoV-2 bryr sig inte om kön, nationalitet eller religion. Den bryr sig bara om du är mottaglig, om du är infekterad eller om du har tillfrisknat. Ju fler människor och ju mer rörelse och umgänge, desto bättre för viruset. Smittan är bara ett symptom. Infektionen finns i människans ekosystem.

Vetenskapens kärna är tvivlet

I samma stund som epidemin var ett faktum polariserades debatten. Båda sidor hänvisar till experter, men experterna säger olika. Inte minst i Sverige vill vi tro att det finns experter som sitter på sanningen.

Men vetenskap bygger inte på sanning utan på tvivel och ifrågasättande. Vetenskap är ett samtal och en pågående debatt. Den ska inte tystas av vissa experter. En del hypoteser är mer sannolika än andra. Det kanske är mer spännande att tro att SARS-CoV-2 skapats av kineser eller amerikaner i ett labb än att viruset kommer från fladdermöss. Men en sådan labb-teori kräver fler godtyckliga antaganden jämfört med det etablerade antagandet att virus ofta sprids från fladdermöss. 

Människor älskar komplexa konspirationer om virus, månlandningar och mord, men konspirationer passar bättre på filmduken. Vetenskap lutar sig istället mot något som kallas Ockhams rakkniv. Den enklaste lösningen, den som kräver färre antaganden och logiska hopp, är troligtvis den korrekta. Konspirationer avslöjas alltid. Fler än två kan inte hålla tyst i flera år.

Bild: Gerd Altmann från Pixabay

I tider med smitta är transparent information en avgörande förebyggande åtgärd, skriver Giordano. Han beskriver nuläget som ett triangeldrama mellan medborgare, institutioner och experter som tycks oförmögna att kommunicera. Först viftades kritik mot beslut bort som alarmism. Låt det vara som vanligt. Alla ska dö någon gång.

Men det handlar inte om alarmism och panik. Det handlar om debatt och transparens. Covid-19 är något nytt och okänt. Det kräver en öppen debatt. De som dör somnar inte in som vid influensa utan dör ofta en ensam och plågsam död.

Virus skapade våra hjärnor, men de har själva ingen intelligens. SARS-CoV-2 består av 30 000 baspar RNA-kod. Men de är bättre på oss att vara agila. De förändras, anpassar sig och de gör det snabbt. Det är en lärdom av virus. Det krävs ett agilt, öppet, transparent och ödmjukt ledarskap. Det handlar inte om att lyssna på en expert eller en grupp av experter som tycker lika. För att se helheten måste flera experter och perspektiv vara med. Det kräver ledarskap.

Tiden under karantän ger oss en chans att tänka efter, säger Giordano. Vi lever i ett bräckligt ekosystem.

*Giovanni Boccaccio skrev novellsamlingen Decamerone under karantän när digerdöden härjade i Florens 1353. Ett av medeltidens mest kända verk.

Bayesiansk beslutsteori hjälper dig att tänka

Hur säkert vet du det du tror att du vet? Det första steget mot kunskap är att inse att dina kunskaper är ofullständiga. Det är också vad Sokrates menade kännetecknade en vis människa som han själv – en som vet att han inte vet. Men även om du inte vet, så vet du också att vissa gissningar är bättre än andra. Det är det andra steget till kunskap. Dessa två steg är också grunden till den engelske matematikern Thomas Bayes sats.

Bayes sats: Den vänstra sidan P(A|B). Det är sannolikheten (P) för händelse A givet att händelse B inträffat. Det är det du är intresserad av. Det kallas posterior. P(A) är sannolikheten för händelse A. Det är din tro (prior). P(B|A) är sannolikheten för B givet att A inträffat. P(B) är sannolikheten för B.

Det har gått 250 år sedan Thomas Bayes formulerade den sannolikhetsteori som senare kom att kallas Bayes sats. Bayes tankar ansågs länge farligt subjektiva och strida mot vetenskapens objektivitet. Statistik ska inte ta hänsyn till tro. Statistikerna lutade sig istället mot standardavvikelser och signifikans. Men de senaste åren har vinden vänt. Bayes går att använda. Bayes ger värde.

Läkare, advokater, ingenjörer och finansmän använder bayesianska nätverk som stöd i beslutsfattande. Psykologer och hjärnforskare utforskar hjärnans bayesianska funktionssätt. Statistiker använder i allt högre grad på bayesiansk logik. Ditt spamfilter arbetar enligt bayesianska principer.

Thomas Bayes (1702-1761)

Så vad är skillnaden mellan traditionell statistik och bayesianism? Säg att du förlagt mobilen någonstans i hemmet. Du ringer upp den med en annan mobil och hör signalen, men kan inte lokalisera varifrån signalen kommer. Problem: var ska du söka?

Om du är en traditionell statistiker skulle du använda dig av en mental modell för att identifiera det rum som ljudet kommer från. När du hör signalen, söker du genom huset.

Om du är bayesian använder du samma mentala modell, men också din tro baserad på de platser där du brukar glömma mobilen. Du kombinerar dina slutsatser från signalen med information om dessa platser, vilket minskar området du behöver leta på.

Eller säg att du har en hund. Du har vägt den vid 3 tillfällen och fått resultatet 13,9, 17,5 och 14,1 kg. I medelvärde väger den 15,2 kg. Det ger en standardavvikelse på 2 och ett standardfel på 1,16. Resultatet av detta kan visas på en normalfördelningskurva med ett medelvärde på 15,2 (figur 1). Men det finns en stor spridning. Det ger dig inte så mycket hjälp när du ska gissa vikten.

Figur 1.

Du testar Bayes sats istället. Bayes tar hänsyn till det du tror. Om du inte tar hänsyn till det du tror (P(A)), kommer du att få exakt samma svar som vid traditionell statistik, men om du först gör en kvalificerad gissning kommer Bayes ge dig ett annat svar. Säg att du tror att hunden väger 14,2 kg, vilket den gjorde senast du vägde den. Hunden ser inte ut att ha gått upp i vikt sedan dess. Du antar därför en spridning på ett kilo. Dessa data är dina priors. Din tro (figur 2).

Figur 2.

Du utgår alltså från en normalkurva som är samlad kring 14,2 och har en spridning på 1. Om du multiplicerar samman sannolikheterna för alla värden ger det en annan kurva jämfört med tidigare. Värdet på extrema värden som 17,5 får nästan ingen sannolikhet alls. Normalkurvan samlas kring 14,1 med en spridning mindre än ett kg. Det ger dig ett bättre svar än om du bara beräknat medelvärdet av dina tidigare mätningar (figur 3).

Figur 3.

Den grundläggande tanken bakom Bayes sats är enkel: Ju mer data du samlar in, desto säkrare blir dina slutsatser. Säg att du tror att du har 50% chans att få en löneförhöjning. Om du får positiv feedback från din chef justerar du denna uppskattning uppåt. Din tro på en löneökning ökar. Det är vardaglig bayesianism.

Bayesiansk poker

När du exempelvis spelar poker uppdaterar du kontinuerligt dina priors. Du vet inte vad motståndarna har för hand. Men du har vissa förkunskaper, som att sannolikheten för par är högre än sannolikheten för triss. Det är dina priors. Sannolikheterna förändras i takt med att motståndarna drar och slänger kort. Om motspelaren byter två kort, sjunker sannolikheten att hen har ett par. Byter hen tre kort, ökar sannolikheten att hen har ett par. Den nya informationen gör att du uppdaterar dina föreställningar om situationen du befinner dig i. Ju mer du spelar, desto bättre antaganden bygger du upp och därmed gissar du sannolikheterna bättre.

I exemplet med poker vet du att det finns en rad satser med olika sannolikheter, i andra fall kan det handla om vetenskapliga hypoteser eller olika påståenden. Du tilldelar dem alltid en subjektiv sannolikhet. I boken The Big Picture använder sig Sean Carrol av sandkorn och skålar för att åskådliggöra det bayesianska tänkesättet. Tänk dig att varje sats är som en skål med sand och att mängden sandkorn är proportionell mot satsens sannolikhet. Din tilltro till satsen x motsvarar då mängden sandkorn i skål x delat med mängden sandkorn i alla skålar.

Bayesiansk dating

Säg att du fattat tycke för en person och överväger om du ska fråga hen om en date. Du bedömer att chansen för ett ja är 60 procent och ett nej 40 procent. Du går hem och fyller ja-skålen med 60 sandkorn och nej-skålen med 40 sandkorn (antalet sandkorn är inte viktigt utan proportionerna). Eftersom du ogillar att bli nobbad vill du ha mer visshet innan du frågar hen om en date. Nästa dag ser du hen komma gående mot dig. Hen säger troligen hej om hen kan tänka sig att gå på en date. Du gör en noggrannare gissning utifrån det antagandet:

Ja-alternativet: En person som skulle tacka ja till en date hejar i 75 procent av fallen och går förbi utan att heja i 25 procent av fallen.

Nej-alternativet. En person som skulle tacka nej hejar i 30 procent av fallen och går förbi i 70 procent av fallen.

Det är din tro. Nu kommer hen och det dags att uppdatera din tro. Hen hejar på dig! Du rusar hem och häller ut 25 procent av sanden från ja-skålen och 70 procent från nej-skålen. Det vill säga de utfall för respektive alternativ som inte stämde med observationen.

Kvar finns då 60 x 0,75= 45 sandkorn i ja-skålen och 40 x 0,3 = 12 sandkorn i nej-skålen. Din tilltro till ett ja uppdateras från 60/(60+40) = 60 procent till 45/(45 + 12) = 79 procent. Eftersom chansen plötsligt blev väldigt mycket större, tar du chansen och frågar om en date.

Bayes sats visar hur du uppdaterar din tro när du får ny information. Först kanske alla skålar väger lika mycket, men ju mer information du får desto tyngre väger vissa skålar i förhållande till andra. Du tar lite sand från de satser som verkar sanna och mycket från de skålar som verkar falska med tanke på informationen.

Det enkla bättre än det svåra

En konsekvens av Bayes sats är att en enkel teori är bättre än en komplicerad teori, vilket William Ockham hävdade några hundra år tidigare än Bayes och vetenskapsfilosofen Karl Popper fastslog några hundra år senare. Det är enklare att visa att en enkel teori är fel och att därefter uppdatera dina priors. Du lär genom att samla data. I till exempel valet mellan en evolutionär teori och en skapelseberättelse, så är den evolutionära enklare och mer stringent, medan det finns en rad olika skapelseberättelser som sinsemellan inte stämmer. Det finns lika många priors som antalet religioner. Om skapelseberättelserna som diverse skapare berättade för olika profeter liknade varandra mer skulle de vara något mer sannolika. Den mest komplicerade teorin är en som blandar från vetenskap och skapelseberättelse, eftersom den typen av vetenskap kan förklara allt. Popper kallar det för metafysik.

Bayes sats lär oss att alla bär på subjektiva antaganden och du kan aldrig vara helt säker på deras sanningshalt. Du måste alltid vara redo att uppdatera dina antaganden i ljuset av nya fakta. Din tro på antagande A ökar när du lär dig om B. På så sätt får du tillgång till mer kunskap och kommer närmare sanningen. Du måste vara ödmjuk. Du måste lyssna på andra.

Replikationskrisen

De senaste åren har vetenskapen drabbats av en replikationskris. Flera allmänt accepterade studier inom ämnen som nationalekonomi och psykologi har inte gått att bekräfta av andra som upprepat de ursprungliga experimenten. Det gäller exempelvis Amy Cuddys påstående (ett av tidernas mest populära Ted talks) att din hållning påverkar dina chanser i livet och Roy Baumeisters påstående att viljestyrka är en begränsad resurs som blir utarmad genom användning. Andra forskare har inte kunnat replikera dessa fynd. Det var inte sant, det var signifikant. Cuddy med flera letade i data och sållade fram signifikanta resultat.

Det gäller kanske i ännu högre grad inom hälsovetenskap. Det finns en tendens att publicera små, positiva studier och forskare anpassar mätmetoderna för att hitta rätt data. Dessa studier ger en slags vetenskaplig legitimitet åt produkter och metoder som marknadsförs långt innan alla frågor är ställda och besvarade. Vetenskap enligt Bayes handlar om att ställa frågor för att uppdatera antaganden, inte om att ge tvärsäkra svar. Exemplen på tvärsäkra svar är många. Kompressionskläder, ”cupping”, kryoterapi, ”floating”, kostillskott, vätskerekommendationer och sportdrycker. Det är mer marknadsföring än vetenskap, men det säljs som vetenskap. Kanske ett mer bayesiansk tänkesätt kan råda bot på detta.

Sponsrad video: Skrällen

Det enda man vet om framtiden är kanske att man ingenting vet. Jag trodde aldrig att jag skulle springa ett ultralopp. För tio år sedan hade oddsen för det varit 10 000:1, eller ännu högre. För fem år sedan - i samband med att jag började träna - sjönk oddsen till kanske 500:1. Tre år senare tvärdök oddsen. Då hade jag bestämt mig och oddsen kanske var nere i 2:1, dvs dubbla pengarna om jag inte sprang. Nu är oddsen försvinnande låga. Det är bara sjukdom som kan hindra mig. Men vad är oddsen för att jag kommer i mål? Jag vet inte hur brytningsgraden ser ut i Swiss Alpine, men jag skulle nog kunna krypa sista milen bara för att fullfölja och komma i mål. Jag kan satsa 1000 kr på att jag går i mål om jag väl står vid starten. Någon som vågar satsa emot?

Jag spelar aldrig på lotto, trav eller tips. När jag läste statistik lärde jag mig en del om förväntade värden. Om jag spelar en krona på lotto är den förväntade vinsten 45 öre, alltså är det inte särskilt sannolikt att jag gör en vinst. På lång sikt blir det alltid en förlust. Utom för några få. Det är alltid någon som vinner och statistiskt sätt kan någon vinna stort fler gånger eftersom det är så många som spelar. Det är hoppet om skrällen - att slå oddsen - som får folk att spela. För många är det enda chansen att bli riktigt rika. Att hålla en dröm vid liv kan också vara rationellt, det är en annan typ av rationalitet. Det är kanske det som den sponsrade videon nedan förmedlar.

I det långa loppet gäller dock en benhård statistisk lag: de stora talens lag - allt jämnar ut sig i slutändan. Men i det korta loppet - och livet är ganska kort - finns det plats för en och annan skräll. Den största skrällen av dem alla - Big Bang - var i sig mycket osannolik. Men den inträffade, fast det kanske var många, många fler som aldrig inträffade? I det långa loppet - evigheten - var det kanske dömt att inträffa. Allt som kan inträffa, inträffar under en evighet, hur osannolikt det än är.

Statistik låter som ett tråkigt matematiskt ämne, men det är ganska underhållande och till skillnad från t ex algebra har man stor nytta av det i vardagen. Statistisk analys skapar reda i kaos och underlättar när man ska fatta rationella ekonomiska beslut eller om det är lönt att treva i lådan efter den andra strumpan. Om man har en kompis som druckit för mycket och sedan försvunnit kan man dessutom beräkna att han sannolikt avlägsnat sig från startpunkten med en sträcka som är proportionell mot roten ur antalet steg. Såvida inte marken lutar, då bör man följa markens lutning som kanske slutar i något dike.

Den största statistiska kontroversen någonsin
För tjugo år sedan skakades den akademiska världen av en speciell kvinna som svarade på en fråga i sin tidningskolumn. Enligt Guinness rekordbok har hon det högsta uppmätta IQ-värdet (228) och hon bär det passande namnet Marilyn vos Savant. Marilyn svarade på en fråga om ett spel som sedan decennier tillbaka pågått i en amerikansk TV-show - Lets make a Deal. I tävlingen skulle man välja mellan tre stängda dörrar: A, B och C. Bakom två av dem stod det en get och bakom en av dörrarna fanns en bil. Den tävlande fick först välja en dörr, säg att han/hon valde dörr A, varvid programledaren - som visste var getterna stod, gick fram och öppnade en av de återstående dörrarna, säg dörr B. Den tävlande skulle sedan välja om han/hon ville stå kvar vid sitt val dörr A eller byta till dörr C. De allra flesta tävlande valde att stå kvar vid sitt val. Men det var helt fel, enligt Marilyn. Byter man dörr ökar man chansen att vinna en bil med det dubbla!

Marilyn vos Savant

Det skrev hon alltså i ett svar på en fråga i sin kolumn och hon blev helt dränkt av brev (det var innan Internet och mail). Professorer i matematik och statistik dömde ut henne som mer eller mindre sinnesrubbad. Det förstår du väl, att sannolikheten ändras till en 1/2, skrev de. Det anser alla vi tillsammans. Erkänn att du har fel. En matematiker skrev att han var chockad över att hon fortfarande inte ändrat sitt svar trots att hon blivit korrigerad av minst tre framstående matematiker.

Ett test för sanningen
Men Marilyn är och var en mycket självsäker kvinna och gav svar på tal. Men stormen bedarrade inte förrän hon i sitt tredje svar uppmanande folk att testa hennes bevis. Fördelen med matematik är att den kan bevisas, men matematiker föredrar sedan Pythagoras att bevisa teorem i idévärlden, eftersom verkligheten inte alltid går jämnt upp i heltal.

Diskussionen vände tvärt efter hennes uppmaning att testa hennes svar. Brev från skolor strömmade in där elever testat att byta och inte byta och fördelningen slutade alltid med 1/3 chans att vinna om man stod kvar och 2/3 chans att vinna om man bytte dörr.

Programmet ändrade sina regler (antar jag) och professorerna drog sig tillbaka till sina elfenbenstorn. Marilyn är fortfarande aktiv och man kan t o m ställa frågor till henne här: Fråga Marilyn.

Rent intuitivt kan det vara svårt att förstå hur sannolikheten kan vara dubbelt så stor mellan två val. Men om man tänker att det är 100 dörrar och det står getter bakom 99 av dem och du väljer en av dörrarna, sedan öppnar programledaren 98 dörrar och frågar om du vill byta dörr. Då faller statistiken på plats, eller hur?

Övrigt
Här kan man läsa utdrag ur Marilyn vos Savants debatt. Mycket underhållande läsning. Länk till debatt.

Här kan man själv testa dörrtävlingen. Efter 100 dörröppningar är nog även den största skeptikern övertygad. Fast det kanske sitter någon gammal professor någonstans och smäller i dörrarna och hoppas på en skräll. Men mot de stora talens odds smäller man förgäves.

Två bra böcker om statistik. En på svenska och en på engelska.
Allan Gut, Sant eller sannolikt.
Leonard Mlodinow, The drunkards walk.

Jubileumsmissar, plasticitet och hjärnmagar

Jubileumsmiss i Athen Marathon
De klassiska grekerna var bra i matematik, de nya grekerna har dock gjort ett klassiskt misstag och räknat år noll som ett år när de i söndags firade 2500-årsjubileum för Athens Marathon ett år för tidigt. Det första loppet sprangs som bekant av Feidippides år 490. Därmed är det 2499-årsjubileum för Athens Marathon i år. År noll finns nämligen inte. Det var inte två år mellan 1 år före Kristus och 1 år efter Kristus utan bara ett år. 1 f Kr följdes av 1 e Kr, inte av år noll. Noll är varken före eller efter utan noll, intet, nada, ingenting, en punkt och en punkt har ingen utsträckning i tiden. 

Feidippides överlämnar budet och dör

Ett barn som föddes år 4 f Kr firade sin 8-årsdag år 5 e Kr och antikens föräldrar hade nog haft svårt med att åldersbestämma sina barn om den kristna tideräkningen funnits då. Enligt arrangörerna av Athens marathon fyllde dock detta barn nio år, men likväl fyllde hon åtta år. Det vore som om vi nu i efterhand satte in tiden före internet och efter internet mellan 1994 och 1995 och kallade den punkten Internetåret. Vi blir inte ett år äldre för det i år. Det är fortfarande två år, inte tre, som man lätt luras att tro när det gäller år noll.

Till arrangörernas försvar kan man säga att även Herman Lindkvist räknade fel.

De som verkligen vill springa jubileet men missade chansen kan alltså boka nästa års Athen Marathon som är det riktiga 2500-årsjubileet.

De gamla grekerna kunde dock inte förutse denna förvirring hos sina efterlevande ättlingar eftersom de saknade nollan i sin tallära, vilket är lite märkligt med tanke på att de tänkte på allt möjligt, även på sådant som inte finns, som noll. Det är säkert också en anledning till varför år noll inte finns. Våra kalendrar är också från denna tid och de börjar ju inte med den nollte januari.

Magnesium ökar hjärnans plasticitet
Magnesiumbrist är ganska vanligt, omkring hälften av västvärldens människor har ett underskott av magnesium, vilket kan påverka kognitiva funktioner i hjärnan. Det magnesium man äter som tillskott tar sig inte igenom blod-hjärnbarriären och når alltså aldrig hjärnan, har forskare från Tel Avivs universitet visat. Det är alltså bortkastade pengar att köpa magnesiumtillskott om man vill förbättra sin hjärna. Forskarna hade dock tagit fram en ny form av tillskott, magnesium-L-theronate (MgT), som passerar genom barriären och in i hjärnan och som snart kanske finns att köpa i en butik nära dig.

Forskarna kom fram till att om man ökade mängden magnesium hos råtthjärnor med hjälp av MgT, visade dessa råttor mätbara förbättringar i minnet (LTP) och de hade också förbättrat sin förmåga att lära sig nya saker. Både unga och gamla råttor fick bättre minne och fler synapser.

Magnesium är ett viktigt mineral. Över 300 enzymer i kroppen är beroende av magnesium. Magnesium krävs även för att hjärnan ska kunna skicka nervimpulser. Den här studien visar att det också är viktigt för att bevara hjärnans plasticitet och dess kognitiva hälsa.

Magnesium hittar man i gröna grönsaker (magnesium är viktigt i fotosyntesen) som spenat, det finns också magnesium i nötter och fullkornsprodukter. Så vad ska man med nya tillskott som MgT till när det redan finns mat med magnesium?


Dåligt samarbete i cellerna 
Proteinet beta-amyloid har länge varit en av de huvudmisstänkta bakom Alzheimer och nu har forskare vid Californiens universitet sett att beta-amyloid förstör en av hjärnans skyddande antioxidanter och de tror också att de kan ta fram metoder framöver för att skydda dessa antioxidanter.

Forskarna var främst intresserade av enzymet katalas som är ett av kroppens mest effektiva enzymer; en katalasmolekyl kan omvandla miljontals molekyler av väteperoxid till syrgas och vatten per sekund. Enzymet är därför väldigt viktigt i skyddet mot fria radikaler som annars kan bildas från väteperoxid.

Forskarna kunde se att när beta-amyloid och katalas interagerade skadades enzymets förmåga att bilda syre och vatten av väteperoxid. Genom att skydda katalas med en liten molekyl kunde man återskapa enzymets antioxidativa egenskaper. Det framgick inte vilken molekyl det handlade om men den är nog på god väg att anta pillerform. 

Fet utan sol 
I en studie från Michigans universitet fann man att barn med låga nivåer av vitamin D samlade mer fett kring buken än barn som hade tillräckliga nivåer av vitamin D. Vitamin D bildas i huden när solen står högt på himlen och det finns även i fet fisk och skaldjur.

Hjärnan i magen 

Fetma har länge setts som ett kroppsproblem, vilket inte är så märkligt med tanke på att det handlar om kroppars vikt och komposition. Fetman i världen är dock till stor del orsakad av att för många äter alldeles för mycket. Detta överdrivna ätande är ett beteende och beteenden regleras av belönings- och mättnadskretsar i hjärnan. Det är dessa kretsar som måste omprogrammeras - genom medvetna beslut, KBT eller kanske man måste medicinera.

Jag tycker att det är viktigt att se mediciner också i ett evolutionärt perspektiv. Det är kanske därför jag är skeptisk mot att överanvända smärtstillare, nervlugnare, nässprayer, febernedsättare och hostmedicin. Äter man prosac mot minsta motgång kanske man fattar fel beslut. Känslorna är rationella program i våra hjärnor och manipuleras de blir kanske den långsiktiga effekten sämre. Något hemskt händer och hjärnan försätter oss då i ett läge som inte känns bra, men det är kanske nödvändigt för att vi ska få tid att tänka efter och se objektivt på saker och ting. Men ibland är både prosac och bantningsmedicin nödvändig.

Forskare vid universitetet i Cambridge upptäckte att ett läkemedel mot fetma, sibutramin, minskade aktiviteten i två viktiga områden i hjärnan, hypotalamus och amygdala, som båda är kända för att vara viktiga i aptitreglering och ätbeteende. Deras resultat redovisas i The Journal of Neuroscience.

Sibutramin hämmar återupptaget av noradrenalin, serotonin och dopamin och höjer därigenom förekomsten av dessa ämnen i synapsklyftorna, vilket ökar mättnadskänslorna och påverkar aptiten. Det var intressant, men tyvärr tycks en vanlig bieffekt av läkemedlet vara förhöjt blodtryck och därför drog den Europeiska läkemedelsmyndigheten nyligen tillbaka läkemedlet.

Här är förresten en underhållande och underfundig föreläsning om hjärnan i magen:

Uthållighetskalkylator

Förra veckan utlovade jag en uthållighetskalkylator baserad på Benjamin Rapoports modell för kolhydratladdning, men det fanns redan en sådan kalkylator upptäckte jag igår.

Kolhydratladdning

I Rapoports studie visas exakt hur mycket kolhydrater som finns i blodet, levern och musklerna och utifrån detta gjorde han en modell om hur man exakt laddar upp sig för att klara ett maraton med ett visst tempo utan att riskera att springa in i väggen. Enligt Rapoports modell bör kolhydratladdning göras 12-36 timmar före ett lopp och vara helt klar 12 timmar innan loppet så att musklerna hinner ta upp allt glykogen. Glykogen är kedjor av glukos som omvandlas till ATP, det är alltså lagrad ATP, redo att användas i cellandningen. Det antal kalorier som kalkylatorn räknar ut motsvarar det antal kolhydrater man ska äta utöver vanligt intag under laddningsperioden. Man ska nästan enbart äta kolhydrater före loppet. Det kan vara snabba eller långsamma kolhydrater. Kalkylatorn i form av en liten (långsam och kräver java) applet finns här:

Endurance calculator.

Räknaren ger både en försiktig och en aggressiv uppskattning. Den försiktiga uppskattningen baseras på att man inte kolhydratladdar, medan den aggressiva visar det snabbaste tempot man teoretiskt kan klara med givet VO2Max. När formeln inte riktigt passar skickar appleten ett meddelande, t ex för löpare med mycket höga VO2Max.

Kolhydratladdning kommer inte att garantera en ökad hastighet, men den garanterar att en löpare inte kommer att slå i väggen givet en vald hastighet. Följer man modellen behöver man inte äta kolhydrater under själva loppet, utlovar Rapoport.

Rapoport hittade inget stöd i forskningen för att man först ska göra en kolhydrattömning för att därefter fylla upp med kolhydrater. Det har varit populärt att göra sådana tömningar, men nu är det inte många som förespråkar det. Det är bättre att gradvis öka intaget av kolhydrater dagarna innan loppet. Rapoport menar att man ska äta mest kolhydrater och mycket lite fett och protein tre dagar innan loppet och man ska äta huvuddelen just efter träning. På så sätt får man maximalt glykogenupptag i benmusklerna. Genom att köra lite högintensiva övningar de sista dagarna kan man dessutom utöka musklernas förmåga att lagra glykogen. Rapoport själv brukar springa 30-40 minuter lugnt och köra hårt de sista minuterna för att uppnå det syftet.

Min kalkyl

Jag matade in mina värden och min måltid på Stockholm maraton på 3:40  och fick detta svar:

VO2max: 54

Kaloriförbrukning: 3165 kcal

Försiktig uppskattning

Tid: 3:35:06

Tempo: 5:10/km

Kolhydratladdning: 1660 kcal

Aggressiv uppskattning

Tid: 2:27:33

Tempo: 3:30/km

Kolhydratladdning: 3005 kcal

Måluppskattning

Tid: 3:40:00

Tempo: 5:21/km

Kolhydratladdning: 1604 kcal

Jojo, en teoretisk chans på 2:27. Jag tror kalkylatorn missbedömt min VO2Max. Man kan laborera lite med vilopulsen för att få en mer sannolik VO2Max. Kruxet är att jag inte har en aning om var min VO2Max ligger. När jag lade in 60 som vilopuls fick jag ett VO2Max på 45 och en aggressiv tid på 2:57 och en försiktig på 4:18 och att jag måste trycka i mig 2125 kcal kolhydrater innan loppet för att klara 3:40.

Slutsatser

En svaghet med kalkylatorn är att den är lite väl enkel. Det borde finnas en avancerad kalkylator också där man kan mata in de egentliga inparametrarna till modellen, som benmuskelmassa, VO2max och maxpuls. I den här enkla kalkylatorn matar man endast in vikt, ålder och vilopuls och modellen gör sedan uppskattningar av de verkliga parametrarna och de kan bli väldigt fel. Med hjälp av vikten uppskattar modellen hur mycket benmuskler man har och hur mycket glykogen man kan lagra, åldern ger en indikation på maxpuls och vilopulsen ligger till grund för uppskattat VO2Max-värde. Det kan således bli väldigt fel, med tanke på den osäkerhet som finns runt dessa uppskattningar. Man kanske får ta fram formlerna och räkna när det blir dags för Stockholm marathon nästa år, eller kanske man gör en egen applet som alla kan köra. Men först måste jag ta reda på mitt VO2Max och hur mycket benmuskler jag har.

Benjamin Rapoport hoppas att formeln ska hjälpa honom att slå sitt personbästa med fem minuter och komma i mål på 2:50 i New York City Marathon nu på söndag. Det kan ju bli kul att kolla upp på måndag.

Relaterade inlägg
Kolhydratuppladdning
Maratonmatematik

Den bästa investeringen i ditt liv

Vad ger en avkastning mellan 200 och 516 %? Det finns en sådan investering tillgänglig för alla. Alla investeringar medför en risk, men det här är en verklig investering med låg risk som dessutom med stor sannolikhet ger god avkastning eftersom den förväntade avkastningen är så hög. Det handlar om att avsätta tid för att tjäna tid. Det är den bästa investeringen i ditt liv.

Tid är pengar

Tid är pengar, sägs det. Vi mäter tiden i pengar. Vi får timlön, månadslön och lever på vår årsinkomst och beräknar pensionen utifrån livstidsinkomsten. En investering som ger god avkastning i pengar ger oss på sätt och vis mer tid, mer fri-tid, till skillnad från arbets-tid. För att öka inkomsten måste man ofta öka sin arbetstid och aktier är bättre än räntebärande konto på sikt, men det finns ingen garanterad avkastning när det finns risk inblandad.

Tid är liv 

I en svensk studie 2009 fann man att otränade personer som började träna så sent som i 50-årsåldern förlängde sina liv med 2,3 år, vilket blir 20 148 timmar. Det är ganska många timmar. Den genomsnittliga timlönen i privat sektor 2010 var 138,50 kr. Priset på en timme kan alltså grovt sägas vara 138,50 kr. Man kan kalla det tidens marginalkostnad. Det ger ett värde på den förlängda tiden motsvarande 20 148 x 138,50 = 2 790 498 kr!

Om man tränar en timme om dagen satsar man ungefär 4 % av sin tillgängliga tid på träning. En 50-åring som tränar 4 % av sin tid förväntas leva ungefär tills han är ca 80 och hon är ca 83. En timme om dagen i 30 år blir 11 060 timmar. Men då tränar man ganska hårt.

Hellre avkastning i framtiden än avkastad i förtid

Avkastningen vid hård träning på tidkapitalet är alltså 20 148/11 060 = 200 %. Så även om hatar att träna ger varje träningstimme en timma i soffan tillbaka. Om träning är dödligt tråkigt går det på ett ut, men gillar man att träna då får man verkligen tillbaka 2 timmar på varje timme och dessutom kanske de där 11 060 timmarna blir de bästa timmarna i livet.

Enligt studien från 2009 räckte det med 2-3 timmar i veckan. En mer korrekt kalkyl ger således en avkastning på hela 20 148/3 900 = 516 %. Den investeringen måste man nästan vara en idiot för att inte göra. Varje rationell människa inser ju att det är en toppenaffär. Satsa 1 timme och få mer än 5 timmar tillbaka, eller satsa 138,50 och få 692,50 kr tillbaka om det krävs pengar för att någon ska förstå ;).

Både aktier och liv är en risk

"I don't know if running adds years to your life, but it definitely adds life to your years." 
Jim Fixx (1932-1984)

Jim Fixx visste inte hur rätt han skulle få. Han dog endast 52 år gammal men blev berömd tack vare sin löpning. Han var med och startade joggingvågen på 70-talet. Han fick goda år även om de blev få. En del som ogillar sport och i synnerhet löpning anförde Fixx död som ett exempel på hur dumt det är att springa, man skrev "the ironic death of Jim Fixx" som rubrik i tidningarna. Men alla dör någon gång och några dör när de springer. Andra dör i badkaret, men ingen säger att det är farligt att bada. Det är livsfarligt att leva, man kan ju dö.

Nu ska jag ut och göra en investering. Det blir 7-8 km i lugnt tempo och jag räknar med att överleva. Den beräknade avkastningen blir två timmar i lite högre tempo lite senare i livet när jag har mycket mer gott om tid.

30 000 meter

Jag vaknade klockan åtta och efter frukosten gav jag mig iväg för att springa det längsta jag någonsin sprungit. Jag gick ut så lugnt och försiktigt som det är möjligt. 30 000 meter låter långt, men varje löptur - oavsett sträcka - börjar med ett löpsteg. Ett-två tre - sen är man igång.

Idag handlade det om att slå mitt distans-personbästa, tiden var oväsentlig. Den första timmen sprang jag väldigt sakta och det var nästan så att jag började frysa, jag hade inget på händerna och fingertopparna är nästan det enda på mig som brukar frysa. De är å andra sidan tio stycken så jag fryser på ganska många ställen. Jag knöt ihop fingrarna i ett eskimågrepp med alla fem fingertopparna tätt ihopsatta. Det ångade ur munnen när jag drev benen med armarna som pistonger genom skogen.

Stigarna var översållade av löv med vita frostkanter, det är fortfarande barmark (grrr, det snöar överallt utom  här, skicka snökaoset hit!). Solen lyste från en klarblå himmel och ganska snart blev det varmt och jag fick öppna upp kläderna lite. Solen står lågt och det blir väldigt ljust vid den här tiden. De människor man möter är bara skuggor i motljus.

Efter ungefär en timmes löpning infann sig det härliga tillståndet av trans, förmodligen för att  hjärnan blir hög på endocannabinoider. Det är väl därför som jag gillar de här långturerna. Det är ett lagligt och ofarligt sätt att knarka på. Men det kanske är ett missbruk, det är svårt att bedöma när man själv är en brukare.

I jämförelse med att sitta på ett möte i tre timmar eller åka bil, buss eller flyg i  tre timmar, går tre timmar i löpspåret fort. Det är som om tiden inte finns när man inte jagar någon speciell tid. Jag tänkte varken på tiden eller på målet 30 km utan jag bara sprang dit jag ville och lät benen styras av omedvetna val. Jag sprang längs havet och i skogen och över berg. 

Första gången jag tittade på klockan hade jag sprungit exakt 24 km. Märkligt, det var mitt tidigare distansrekord. Det kanske var en slump att jag tittade just då, eller så hade jag fått någon omedveten input någonstans ifrån. Hjärnan kanske kände att jag sprungit så långt och ville göra mig uppmärksam på det. Jag fick en liten kick - bara 6 km kvar och jag ökade takten. Men redan efter ytterligare 2 km var jag trött, högerbenet gjorde lite ont och sedan kände jag en tendens till kramp i vänster vad. Jag sänkte takten och då gick det över. Den sista kilometern gjorde ont i båda benen och jag såg nog lite plågad ut, trots att tempot var lågt. Men så här långt  har jag aldrig sprungit och hjärnan ville nog varna mig för att fortsätta för länge. Jag kände mig nöjd när jag kom hem och smärtan försvann och det var kul att ladda in sträckan på datorn och följa strapatserna i efterhand.

Undvika väggen

Jag måste springa ytterligare 12 000 meter om jag ska nå upp till ett maraton. Det borde jag klara. I morgon anmäler jag mig till Stockholm maraton. Men de sista 12 000 metrarna är de jobbiga metrarna, säger de som har sprungit. Efter 30 km är glykogenlagren tömda. Det är då man springer in i väggen, läste jag nyss i en forskarrapoport som kommer som blogginlägg i morgon. Nu slutade jag just innan glykogenlagren var uttömda och jag sprang sakta så att jag kunde utnyttja fettdepåerna bättre. Jag hade inget pulsband på mig men jag känner min puls ganska bra nu och jag låg nog i min fettförbränningszon under större delen av löpturen. Dr Phil Maffetone räknade ut en formel för fettförbränning och puls för några år sedan. Springer man i det framräknade pulsintervallet räcker energin länge eftersom man förbrukar mest fett och fett har alla mer eller mindre gott om. Formeln ser ut så här:

Fettförbränningszon otränad = 180 -  ålder + 5.

Fettförbränningszon medeltränad = 180 -  ålder.

Fettförbränningszon vältränad = 180 - ålder -5.

Jag är väl ganska vältränad så min formel blir något i stil med 180 - 45 -3 = 132. Jag tror jag låg runt 135 om jag kände min puls rätt. Jag blev aldrig uttröttad utan det var benen som tog slut och de kan man bygga upp. Nu ser jag fram emot nästa rekordförsök. Jag siktar på 32-35 km innan årets slut.

Upp i rymden

Man hinner tänka mycket när man springer 30 km.Om jag avverkat 30 km vertikalt istället för horisontellt hade jag hamnat så här långt upp:

Foto: oewf

Det ger lite perspektiv på distansen.  En vacker utsikt, men kall och ogästvänligt. Kanske man är däruppe snart? Det sägs att det ska ordnas turistresor från Esrange i Kiruna under 2012. Jag skulle nog kunna betala ganska mycket för en sådan upplevelse.

Tv-tips med anknytning till den här bloggen.

I morgon kl 23.00 kan man se ett program på Kunskapskanalen om den plastiska hjärnan och eftersom det är en av bloggens underliggande budskap kanske det kan vara intressant. Programmet heter kort och gott "Den plastiska hjärnan".

Sex formler för löpare

Det finns en del användbara formler som man kan använda när man tränar. Enkla hjälpredskap om man vill veta vilken stegfrekvens man har och vilken maxpuls man borde ha.

Formel 1: Stegfrekvens per minut = Antal högersteg på 20 sek * 3 * 2.

Formel 2: Maxpuls män = 220 - ålder

Formel 3: Maxpuls kvinnor = 206 - 0,88 x ålder

Formel 4: Antal förbrukade kalorier (enkel) = vikt (kg) x km

Formel 5: Antal förbrukade kalorier (avancerad) = vikt (kg) x tid (timmar) x intensiteten

Formel 6: Syretillgång = 760 mmHg * (1 - (0,01 * höjd(m))

Förklaringar

Formel 1: Räkna antal nedslag med ena foten under 20 sekunder och multiplicera sedan med 3 och med 2. 30 nedslag med höger fot ger 90 nedslag med höger fot under en minut och sedan dubblar man så att man får med vänster fot också, vilket i detta fall blir 180 steg.

Formel 2: Formeln för män är ungefärlig. Maxpulsen styrs till stor del av generna och sjunker med stigande ålder.

Formel 3: Detta är en rätt ny formel för hur man beräknar maxpuls för kvinnor. Den gamla formeln antog att kvinnor var en sorts män, vilket gjorde det svårt för kvinnor att nå sin målpuls. Enligt formeln har en 50 årlig kvinna en ungefärlig maxpuls på 206 - 0,88 x 50 = 162.

Formel 4: En mycket enkel formel som förutsätter att man springer i ca 6:00/km på en plan yta. Den ger ett ganska bra närmevärde. Väger man 75 kg och springer 10 km förbrukar man 75 * 10 = 750 kalorier mer än om man inte gjorde någonting.

Formel 5: En lite mer komplex formel som tar hänsyn till intensitet. Sätter man in olika värden på intensiteten får man under en timme en ökad förbrukning jämförd med vila på:

100 kg i 4 min/km tempo = 1400 kalorier

75 kg i 4 min/km tempo= 1050 kalorier

100 kg i 5 min/km tempo  =  1150 kalorier

75 kg i 5 min/km tempo   = 863 kalorier

100 kg i 6 min/km tempo = 1000 kalorier

75 kg i 6 min/km tempo = 750 kalorier

100 kg i 7 min/km tempo = 850 kalorier

75 kg i 7 min/km tempo = 623 kalorier

100 kg i hårt promenadtempo = 400 kalorier

75 kg i hårt promenadtempo  = 300 kalorier

100 kg i medel promenadtempo  = 230 kalorier

75 kg i medel promenadtempo = 173 kalorier

 För en mer exakt mätning måste man dock veta personens kön, ålder, muskelmassa, löp-/träningsteknik, osv. Men mellan tummen och pekfingret fungerar den bra.

Formel 6: Vid havsnivå finns det mer luft ovanpå som trycker än uppe på ett berg. Ju högre upp desto lägre tryck, d.v.s. färre molekyler. Andelen syre är lika hög (21 %), men eftersom det finns färre molekyler finns det också färre syremolekyler. Befinner man sig 1000 meter upp är trycket 760 * (1 - (0,01*1000)) = 760 * 0,9 = 684 mmHg, vilket ger 10% färre syremolekyler. Antalet syremolekyler minskar ungefär med 1 % för varje 100 meter som man klättrar upp.

Dagens pass

På förmiddagen körde jag ett poweryoga-pass som var det jobbigaste hittills. Vi jobbade mycket med magen och jag kommer att känna av det i morgon.

På eftermiddagen gav vi oss ut i det strålande solskenet och gick skidgång och älglufsade. Jag tog det avsiktligt lite lugnare eftersom det är min återhämtningsvecka och smet dessutom hem lite tidigare. Det blev ändå ett relativt tufft pass. Det är svårt att ta det lugnt när man älglufsar.